【数学】高校数学での背理法のモヤモヤ感を4つほど解消

この間先輩と背理法を教える話になったので、その時のまとめを公開。

#前置き。大学の数学で出てくるような厳密さは省略。論理とメタ論理の記号の使い分けだとか、どの公理と推論規則を使っているかという話はナシ。述語記号すら出てこない。恒真とか恒偽とか充足可能とかも無視。ゴマカシといえばゴマカシだが、命題論理モドキで進行。ターゲットは高校生。

何より気になったのが、背理法の定義(というよりは、初出の説明と言うべきか)。

P⇒Qを証明するために、Qを否定して矛盾を導けばよい。

ん?、私は

Aを証明するために、Aを否定して矛盾を導けばよい。

で習ったんだが…なぜこんな風にしているか?? こっちの方が素直な形だと思うんだが…?!

#あまりにも当然のようにしていることは、時々その仕組みを忘れてしまう。大人が時々説明ができなくなることとは…経験の中に明示された仕組みが溶けてしまうからか。それはともかく…

背理法の使われる場面として、何らかの前提条件がある、そのために「P⇒Qを証明するために、Qを否定して矛盾を導けばよい。」としておいてくれている…親切心だと思うけれども、P⇒Qの形にならない場合には背理法は使えないか?? と思わせる形はよろしくないと思う。

#Pを空欄にして、⇒Q:前提無しに真となる、と読ませれば良いんだ、というような論法は高校生向けとは思えないので、事前に撃墜しておく。

とりあえず、私の背理法の直感的理解を書き出してみる

まず…￢は否定を意味することとします。

普通の(?)証明では、#直観主義の話は当然ナシ(^_^;)

排中律: A or ￢A

を認めておいて、

A⇒B を￢(A and ￢B)

: 「推論が正しければ、真から偽を導くことはない」

と読んでいる。

はて、Aを証明するために、￢Aを仮定して、矛盾(偽、成立しない命題)を出す。

#ここでは「矛盾」は C and ￢C の形の式を指す。当然偽。学生の発言を聞いていると、矛盾をすっきりと捉えられていないフシがある…。

つまり、

￢A ⇒ C and ￢C

をする。

はて、この推論自体は正しいから(この論理式が正しいから)、￢Aは偽、

選言三段論法から、

(A or ￢A) and ￢(￢A) ⇒ A

:「AかAじゃないかだろう?? AじゃなかったのじゃなかったらAだろう」

#￢￢Aで、二重の否定を除去してよいとして、Aでもいいけど。

という感じだ。日本語で書くと、

「AかAじゃないかだろう?? AじゃなかったのじゃなかったらAだろう」

「Aでないとしたら偽。Aでないものから矛盾が出た」

「矛盾は偽。論法が正しくて偽が導かれたのだから前提『Aでない』も偽」

「だからAである」

P⇒Qを証明するためにQを否定する…の話と、モヤモヤの原因4つ

モヤモヤの源についての、私が疑うところをリストにしておこう。

そもそも、Qを証明することと、P⇒Qを証明することの違いが分かっていない??
(P⇒Q) を否定するのか、Qを否定するのか分かっていない??
問題文のどこからどこまでがPで、どこからがQか分かっていない??
P≠>Q という摩訶不思議な記号に関する誤解か??

1.そもそも、Qを証明することと、P⇒Qを証明することの違いが分かっていない??

この違いが…結論(Q)の正しさと論法(P⇒Q)の正しさの概念が一緒くたになり、

さらに、

論法の正しさをテストするためには、Pが真として、Qが偽ではない…真。を言えばよい

ということと、

(ただ単に)Qの正しさをテストすること

が一緒くたになっているのがモヤモヤの原因の一つか??

#ここが分かりづらい人はP⇒Qの真理値表を睨むべし。

2.(P⇒Q) を否定するのか、Qを否定するのか分かっていない??

もしかすると、背理法の仮定、つまりP⇒Qを背理法で証明する場合に否定するもの、について、二通りの説明を見てしまったのではないか(教科書と参考書etc.)とも疑っている。つまり(P⇒Q) を否定するのか、Qを否定するのか、どちらが正しいのか、この辺りで混乱してモヤモヤとしているのかもしれない。

￢(P⇒Q)⇒R and ￢R
￢(￢(P and ￢Q))⇒R and ￢R　　 :「⇒を￢(否定)とandであらわしただけ」
P and ￢Q⇒R and ￢R　　　　　　　　:「二重否定￢￢をキャンセルしただけ」

この3つは同値。つまりP⇒Qを否定して矛盾(R and ￢R)を導こうと、前提Pを真としてQを否定して矛盾を導くのも同じ事。

#こんな計算では納得できない、という人は、⇒について真理値表を睨んで、P⇒Qが正しくない、ということは何と一緒なのか、式を日本語で読み解いてみてほしい。そして緑の式の部分を睨んでみてほしい。

ただ、より一般性のある形をした、

「Aを証明するために、Aを否定して矛盾を導けばよい。」

を知っておいて、その特殊な形としてAがP⇒Qの場合があって、つまり

「P⇒Qを証明するには、P⇒Qを否定して矛盾導けばよい」

があり、さらに便利な形として、

「P⇒Qを証明するには、Pを真とし、Qを否定して矛盾導けばよい」

があると理解するとすっきりするはず。

3. 問題文のどこからどこまでがPで、どこからがQか分かっていない??

数学の問題では、よく、

xを正の整数とする。xが偶数の時に、《A》ならば《B》であることを示せ

というように書いてある。はて、この問題で、ならば、と書いてあるが、どこまでを前提(前件)として読めばいいのか?? Aだけなのか、ならばの前すべてか??

2.では三通りの背理法の「説明」を見てきたが、前提がある限り結局どれを選んでも良い。だからどこまでを前提としてとっても構わない。Bを否定して矛盾を導けばいいのだから。

#背理法だけではなく、対偶を考えるときにも浮かぶ疑念だと思う。さて対偶の時にはどうなるかというと……

#この疑念は私も指導教官に聞いたことがある。いつもは意識せずに使えてしまうということは恐ろしいこと。

4.P≠>Q という摩訶不思議な記号に関する誤解か??

これは本で読んだ。

ε(エプシロン)‐δ(デルタ)・〓と〓に泣く―数学の盲点とその解明

# Amazon では文字化けしている…

ε(エプシロン)‐δ(デルタ)・∀と∃に泣く―数学の盲点とその解明

です。絶版か。

P⇒Qの否定を、P≠>Q (P⇒Qに斜めの線を入れて否定した??) と書いて、

PならばQではない

と読ませて、その意図するところは、

P⇒￢Q

だったりする。

￢(P⇒Q)でも、P and ￢Qでもない。同値ではもちろんない。

これで背理法を説明している参考書がある、という話が載っていた。

これと同様の間違いをしているか、そんな参考書を読んでしまって混乱しているんじゃないか??